Теория и модель Блэка-Шоулза

Обладателями Нобелевской премии по экономке в октябре 1997 года стали профессора Роберт Мертон из Гарвардского университета и Майрон Шоулз из Стенфордского университета, которые разработали модель Блэка-Шоулза, используемую для оценки опционов и впервые опубликованную в 1973 году.

Вкратце модель Блэка-Шоулза позволяет оценить «справедливую стоимость» опциона, которая рассчитывается на основании прошедшей истории актива и вероятности будущей цены опциона. Данная формула используется в основном для принятия инвестиционных решений, так как не всегда гарантирует прибыль на торгах. Стоит отметить, что рассчитываемая «справедливая» рыночная цена опциона не всегда может совпадать с настоящим значением цены.

В простом виде модель Блэка-Шоулза рассчитывается по следующей формуле:

Цена опциона «кол» = [Ожидаемая будущая цена] - [ожидаемая стоимость исполнения опциона]

Авторы помимо этих моментов учитывают в уравнении также некоторые поправки: на вероятность разброса будущей цены актива, на вероятность более высокого исполнения цены, на чистое значение стоимости исполнения, а также поправка на то, что может быть получена часть платежа по безрисковой ставке.

В итоге математически формула модели имеет вид:

С = S N(d1) - Ke- rt N(d2), где

• C - теоретическая цена опциона «кол»
• S - текущая цена акции
• t - время до экспирации опциона
• r - безрисковая процентная ставка
• K - страйк опциона
• e - основание натурального логарифма (2.71828)

Отдельно рассчитываются следующие пункты:

d1 =[ ln (S/K) + (r + ?2/2)*t] / [? * sqr (t)]

d2 = d1 - ? * sqr (t), где

• ? - сигма, среднее квадратичное отклонение курса акции
• sqr (t) - корень квадратный от t
• ln - натуральный логарифм

Основные результаты модели Блэка-Шоулза

Начнем с того, что модель Блэка-Шоулза утверждает, что опцион должен быть больше разницы текущей цены и цены исполнения. Эта разница появляется потому, что значение подлежащего актива в будущем может отличаться от текущей цены как в большую, так и в меньшую сторону.

Таким образом, модель Блэка-Шоулза предназначена для расчета возможного будущего значения подлежащего актива, что позволяет оценить справедливую стоимость опциона. Будущим значениям цены назначаются определенные вероятности, которые модель Блэка-Шоулза включает в текущую цену.

В этом случае проблемой является тот факт, что нельзя точно предсказать будущее значение цены, поэтому модель Блэка-Шоулза лишь предполагает, что для цены можно использовать логнормальное распределение вероятности. Высота и разброс вероятности определяется сигмой (волатильностью), которая рассчитывается по историческим данным. При этом считается, что вероятность сильного различия цены в момент экспирации тем больше, чем выше волатильность данной акции. Компенсируется это продавцами за счет большего получения за опцион, а покупателями за счет большей оплаты за возможность.

В итоге получается, что прогнозируемое значение будущей цены определяется историческими данными. В этом плане модель Блэка-Шоулза обладает теми же проблемами, что и технический анализ, т.е. прошлое не всегда может определить будущее.

Способы использования модели Блэка-Шоулза

В основном модель Блэка-Шоулза используется в следующих случаях:

• для поиска недооцененных опционов для продажи и переоцененных опционов для покупки;
• для хеджирования портфеля, что позволяет снизить риски в случае низкой волатильности;
• для оценки рыночных предпосылок по будущему значению волатильности.

Как правило, модель Блэка-Шоулза используется трейдерами для сравнения текущих и теоритических значений цен на опционы. Если теоритические значение не совпадает с текущим и разница между ними больше, нежели стоимость заключения сделки, то трейдеры применяют тактику арбитража на этой разнице. Однако, в основе модели лежит теория, которая предполагает отсутствие возможности арбитража. В связи с этим, по факту модель Блэка-Шоулза использует несколько человек, которые находят и вытесняют ситуации на рынке с арбитражем. Стоит отметить, что данное предположение считается вполне оправданным.

Еще один способ использования модели основан на вычислении для портфеля акций позиций хеджирования. В связи с тем, что колебания цен опционов совпадают с ценой акции, то продажа опционов позволяет уравновесить потери от акции. Для этого применяется модель Блэка-Шоулза, которая определяет число опционов на продажу для достижения желаемой волатильности.

Помимо этого модель Блэка-Шоулза применяется для расчета рыночных предпосылок для волатильности (сигма). В этом случае предполагается, что рынок правильно оценил опционы, поэтому из формулы спокойно можно найти рыночную оценку нижней и верхней границ цены акции в будущем. Из этих значений строятся узкие кривые распределения, которые увеличивают вероятность приближения теоретической цены к ее будущему значению. Другими словами, чем выше «кол», тем больше различия в ожидания цены. Также стоит отметить, что в случае переоценки опциона модель Блэка-Шоулза применяется для поиска количественных вероятностей, которые определены рыночными ожиданиями.

Несмотря на то, что трейдеры в основном используют один алгоритм модели, в формулу могут подставляться различные значения. Сигма рассчитывается по предыдущим рыночным данным, которые могут браться с любого момента. Как правило, расчет ведется по данным за последний год, поэтому использования более короткого или длительного временного интервала приводит к различным результатам.

В результате получается, что модель Блэка-Шоулза никак не может стать панацеей для трейдеров, она выступает лишь в качестве очень ценного инструмента, позволяющего оценить опционы и рыночные ожидания.

Дельта и модель Блэка-Шоулза

При определении модели Блэка-Шоулза возникает необходимость расчета величины дельты. Данная величина определяет меру сдвига цены опциона в случае небольшого изменения цены базового актива. К примеру, в случае роста базового актива на 1 цент, опцион с дельтой 0,5 увеличится на полцента.

Если опцион не выражен в деньгах, то его дельта приближена к нулю, а если он выражается в деньгах, то значение дельта близко к 1.

Дельта Европейского опциона на бездивидентные акции определяется по следующей формуле:

Delta = N(d1)

Позитивное значение называется кол дельта, а негативное - пут дельта, которое отображает противоположную зависимость цены базового актива и цены опциона пут. Пут дельта рассчитывается как кол дельта в степени -1.

Дельта также называется нормой хеджирования. Допустим, у вас имеется портфель с n короткими опционами, т.е. вы продали n колл опционов. В этом случае, если умножить n на значение дельты, то можно получить количество акций, которые потребуются для создания безрисковой позиции. При этом стоимость портфеля не измениться даже в случае небольшого роста или падения цена акции. В результате создается «дельта нейтральный» портфель, у которого убыток от роста стоимость проданного колл опциона будет компенсироваться ростом цены акции.

Дельта меняет своей значение в зависимости от цены акции и оставшегося времени до экспирации. Скорость изменения дельта определяется коэффициентом гамма, для расчета которого также используется модель Блэка-Шоулза.

Коэффициенты греческой таблицы и модель Блэка-Шоулза

Для построения опционных стратегий используются коэффициенты греческой таблицы, расчет которых основан на модели Блэка-Шоулза.

Дельта мы уже рассмотрели. Также существует коэффициент гамма, который является мерой скорости изменения дельта по отношению к изменению цены базового актива. Коэффициент вега является мерой изменения цены опциона по отношению к изменению волатильности на один процентный пункт. Коэффициент тэта является мерой изменения цены опциона по отношению к изменению времени, оставшегося до экспирации. Коэффициент ро является мерой цены опциона по отношению к изменению безрисковой процентной ставки.